Фильм начинается с внесения праздничного торта с зажжёнными свечами в комнату, где отмечают 40-летие космонавта Павла Кондратьевича Козелкова, который 27 лет назад покинул Землю в составе экспедиции к Кассиопее на космическом корабле «ЗАРЯ» (Звездолёт Аннигиляционный Релятивистский Ядерный). Во время поднятия фужеров с шампанским внезапно появляется мужчина в костюме и галстуке И. О. О. Он сообщает, что Козелкову сейчас не 40, а лишь 14 лет, поскольку в процессе полета корабль вошёл в гиперпространство и поэтому сработал временной «парадокс Эйнштейна». Родные космонавта удивляются, особенно его взрослый и бородатый младший брат.
Тем временем на космическом корабле отмечают день рождения и малолетние космонавты. Они моделируют земной (советский) быт, ставят самовар, устраивают чаепитие и вместе под гитару поют песню Роберта Рождественского «Этот большой мир». В следующей сцене демонстрируется пресс-конференция, на которой раскрываются цели миссии космической экспедиции: от «мыслящих существ» поступил сигнал бедствия — на их планете произошла некая катастрофа.
Звездолёт приближается к второй планете звезды Шедар (Альфа Кассиопеи), которая «похожа на нашу Землю». Командир Середа называет эту планету Варианой, в честь члена экипажа Вари Кутейщиковой, которая должна ступить первой на её поверхность. Жёлто-красная капсула в составе трёх космонавтов (Паша Козелков, Варя Кутейщикова и Федя Лобанов) совершает посадку. Земляне видят пустынную равнину с гигантскими белыми «волчками» на горизонте. Космонавт Лобанов делает предположение (неверное), что они построены стрекозоидами.